Το θεώρημα
της
μη πληρότητας του Gödel
« Είτε τα μαθηματικά είναι πολύ μεγάλα για το ανθρώπινο μυαλό ή το ανθρώπινο μυαλό είναι κάτι περισσότερο από μια μηχανή »
Ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της επιστήμης των Μαθηματικών τον 20ου αιώνα αποτέλεσε το θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel. Δεν είναι ο σκοπός αυτού του άρθρου να επεκταθεί εις βάθος σ’ αυτό το θεώρημα διότι εμπλέκονται πολλές μαθηματικές έννοιες, αλλά μάλλον για να παρουσιάσω κάποιες από τις προεκτάσεις του στις επιστήμες και την Φιλοσοφία. Σε ένα ξεχωριστό άρθρο εξετάζονται και οι προεκτάσεις στην χριστιανική πίστη.
Ποιός είναι ο Gödel ;
Γεννήθηκε το 1906 στην Τσεχία. Το 1931, ο νεαρός τότε Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel έκανε μια ανακάλυψη ορόσημο, τόσο ισχυρή όσο και εκείνη που ανέπτυξε ο Albert Einstein δηλαδή την θεωρεία της σχετικότητας. Το 1939 μεταναστεύει στην Αμερική. Στο Πρίνστον αποδέχεται μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών όπου και παρέμεινε ως καθηγητής ως τον θάνατο του το 1978.
Το μεγάλο του επίτευγμα το θεώρημα της μη πληρότητας εξερράγη ώς βόμβα και συγκλόνισε όλο τον κόσμο των Μαθηματικών. Ογδόντα χρόνια αργότερα τα αποτελέσματα του Gödel συνεχίζουν να ξεχωρίζουν ως βασικό επίτευγμα που έχει επαναπροσδιορίσει για πάντα τη μαθηματική λογική και συνεχίζει να επηρεάζει την ανάπτυξή της. Η ανακάλυψη του Gōdel δεν ισχύει μόνο για τα μαθηματικά αλλά κυριολεκτικά και για όλους τους κλάδους της επιστήμης, της λογικής και της ανθρώπινης γνώσης.
Ποτέ δεν θα είναι δυνατόν με την απλή λογική να φθάσουμε στην απόλυτη αλήθεια.
Werner Heisenberg,
Physics and Philosophy
Το λαμπρό μυαλό του Gödel όμως έπαιζε περίεργα κόλπα. Ήταν εκ φύσεως τελειομανής και αυτό δημιούργησε ψυχαναγκασμούς που στα μεταγενέστερα του τα χρόνια μεγάλωσαν πολύ πέρα από κάθε έλεγχό του. Μια από αυτές ήταν ο φόβος ότι κάποιοι ήθελαν να τον δηλητηριάσουν. Ο Gödel εμπιστευόταν μόνο το φαγητό που είχε ετοιμάσει η γυναίκα του. Όταν η σύζυγος του νοσηλεύτηκε για έξι μήνες στο νοσοκομείο Πρίνστον, ο Gödel αρνήθηκε να φάει. Το αποτέλεσμα ήταν να πεθάνει 14 Ιανουαρίου του 1978 σε ηλικία 72 χρόνων από ασιτία και εξάντληση. Η διάγνωση ήταν «υποσιτισμός λόγω διαταραχής προσωπικότητας»
Το Θεώρημα της μη πληρότητας
Αλλά πριν αναλύσουμε το Θεώρημα του Gödel, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πώς κατανοούνταν τα μαθηματικά τη στιγμή που διατυπώθηκε αυτό το θεώρημα. Στα τέλη του 19ου αιώνα οι μαθηματικοί επινόησαν τα λεγόμενα τυποποιημένα συστήματα. Σε αυτά τα συστήματα τα θεωρήματα προκύπτουν από αξιώματα με μια αυτοματοποιημένη θεωρητική μεθοδολογία ακριβώς όπως τα κλαδιά ενός δένδρου ξεπηδούν από ένα κεντρικό κορμό. Έτσι εφόσον τα αξιώματα είναι σωστά και η μεθοδολογία εξαγωγής των θεωρημάτων σωστή πίστευαν ότι τα συστήματα αυτά θα διατηρούσαν μια εσωτερική λογική συνέπεια.
Ποιό είναι όμως το θεώρημα της μη πληρότητας; Για την κατανόηση αυτού του θεωρήματος θα πρέπει να δώσουμε τον ορισμό δύο βασικών μαθηματικών εννοιών αυτή του συνεπούς, του πλήρους και του κλειστού συστήματος.
Συνεπές : είναι ένα αξιωματικό σύστημα για το οποίο δεν μπορούμε ποτέ να εξαγάγουμε δύο αντιφατικές προτάσεις ή δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι μια πρόταση και η άρνηση της, είναι αμφότερα αληθή θεωρήματα. Με άλλα λόγια δεν υπάρχουν αντιφάσεις.
Πλήρες : ονομάζεται ένα αξιωματικό σύστημα αν, για κάθε δήλωση στη γλώσσα των αξιωμάτων, είτε η αυτή δήλωση είτε η άρνησή της μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα (δηλαδή κάθε πρόταση μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής).
Κλειστό : Είναι το σύστημα το οποίο θεωρείται οτι έχει απόλυτη πληρότητα και απόλυτη συνέπεια. Τα κλειστά συστήματα είναι ελλιπή. Οποιαδήποτε προσπάθεια να τα θεωρήσουμε πλήρη αναδεικνύει τις ασυνέπειές τους. Οποιαδήποτε προσπάθεια να αγνοηθούν οι ασυνέπειες οδηγεί σε ψευδαίσθηση της πραγματικότητας και την εσφαλμένη αντίληψη ότι κάποιος έχει έλεγχο της πραγματικότητας μέσα από το σύστημα.
Τα κλειστά συστήματα είναι κατά της πίστης. Σ’ αυτά υποτίθεται ότι είναι γνωστά όλα όσα αξίζει να είναι γνωστά και επιδεικνύουμε μια απροθυμία να παραδεχτούμε ότι ορισμένα πράγματα που ισχυριζόμαστε ότι είναι γνωστά στην πραγματικότητα τα αποδεχόμαστε εκ πίστεως. Τα κλειστά συστήματα είναι η αδύναμη προσπάθεια του ανθρώπου να καταστήσει την πίστη περιττή. Αλλά το τίμημα είναι η ψευδής βεβαιότητα και η διαστρέβλωση της πραγματικότητας.
Με βάση αυτούς τους ορισμούς το θεώρημα της μη πληρότητας έρχεται υπό μορφή δύο διατυπώσεων.
Πρώτο Θεώρημα της μη πληρότητας
Αν ένα σύστημα είναι συνεπές, τότε δεν μπορεί να είναι πλήρες είναι αναπόφευκτα ελλιπές. Αλλά και οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα θεωρείται πλήρες δεν μπορεί στην πραγματικότητα να είναι εσωτερικά συνεπές. Οποιοδήποτε επαρκώς περίπλοκο επίσημο σύστημα είναι είτε ελλιπές είτε ασυνεπές.
Δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας
Η συνέπεια των αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσω του συστήματος
Έτσι κάθε σύστημα αξιωμάτων περιλαμβάνει προτάσεις τις οποίες δεν μπορούμε να διερευνήσουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, με τα μέσα που μας δίνει το ίδιο το σύστημα. Με άλλα λόγια, για να μπορέσουμε να αποδείξουμε τις αξιωματικές αυτές προτάσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο σύστημα αξιωμάτων ακόμα πιο ευρύ, που να περιέχει το προηγούμενο. Έτσι όμως, μένουμε και πάλι με την αδυναμία μας να αποδείξουμε το ευρύτερο αυτό σύστημα, και χρειαζόμαστε κάτι ακόμα ευρύτερο. Τελικά φαίνεται ότι η γνώση μας για το κάθε τι πάντα θα απαιτεί περισσότερα στοιχεία, που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ’ έξω από το υπό μελέτη σύστημα. Με αυτό το θεώρημα, ο Gödel έθεσε τέλος στην αναζήτηση της βεβαιότητας στα μαθηματικά, αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει βεβαιότητα και δεν μπορεί να υπάρξει, όπως ακριβώς είχε κάνει ο Χάιζενμπεργκ στην φυσική.
Σαν παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος μπορούμε να αναφέρομε την Ευκλείδια γεωμετρία. Πρόκειται για ένα αξιωματικό σύστημα, στο οποίο όλα τα θεωρήματα προκύπτουν από ένα μικρό αριθμό αξιωμάτων. Η γεωμετρία αυτή βασίζεται σε πέντε αξιώματα που είναι αληθή αλλά σε 2500 χρόνια κανείς δεν τα απέδειξε. Το έργο του Ευκλείδη είχε ένα αδύνατο σημείο και αυτό ήταν το πέμπτο του αξίωμα το οποίο μας λέει οτι δοθείσης μιας ευθείας γραμμής και ενός σημείου εκτός αυτής μπορούμε να σχεδιάσουμε μόνο μια άλλη ευθεία παράλληλη με αυτήν και διερχόμενη από το σημείο. Σημερα γνωρίζουμε πως η πρόταση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί ούτε να απορριφθεί με βάση τα υπόλοιπα 4 αξιώματα του Ευκλείδη, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ούτε ότι είναι αληθής ούτε ότι ειναι ψευδής.
Γύρω στα μέσα του 1800, αρκετοί μαθηματικοί άρχισαν να πειραματίζονται με διαφορετικούς ορισμούς για την παράλληλη γραμμή. Ο Lobachevsky, ο Bolyai, ο Riemann, ο Hilbert και άλλοι δημιούργησαν νέες γεωμετρίες. Έτσι αυτές οι γεωμετρίες υποθέτουν την εξάλειψη των παράλληλων ευθειών. Η γεωμετρία Riemann χρησιμοποιεί το αξίωμα που λέει οτι όταν δίνεται μια ευθεία και ένα σημείο έξω από τη γραμμή δεν υπάρχουν γραμμές παράλληλες στη δεδομένη ευθεία μέσω αυτού του σημείου. Χώροι Hilbert αντίθετα να λένε ότι υπάρχουν άπειρες πολλές ευθείες παράλληλες προς την δεδομένη ευθεία που διέρχονται απο αυτό το σημείο. Η ύπαρξη άλλων λογικά συνεπών γεωμετριών σημαίνει ότι η γεωμετρία του Ευκλείδη δεν ήταν αληθής: ήταν απλώς ένα μοντέλο που αντιπροσώπευε ένα ορισμένα κομμάτι της αλήθειας.
Οι συνέπειες του θεωρήματος της μη πληρότητας
- Μαθηματικά
Ένας από τους μεγάλους στόχους των μαθηματικών ήταν να αναγάγουν όλη τη μαθηματική γνώση σε ένα λογικά πλήρες, συνεπές και περιεκτικό σύστημα. Ο Godel έδειξε ότι ο όλος στόχος προς μια ενοποιημένη θεωρία στα Μαθηματικά είναι ανέφικτος! Πάντα θα υπάρχει μια πρόταση σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από το σύστημα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ ένα αυστηρό και σταθερό σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρευόντουσαν εδώ και αιώνες.
2. Φυσική
Μια «θεωρία των πάντων» δεν θα βρεθεί ποτέ. Γιατί η φυσική βασίζεται στα μαθηματικά. Είναι ένα μαθηματικό μοντέλο. Έτσι, εάν υπάρχουν μαθηματικά αποτελέσματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν, υπάρχουν φυσικά προβλήματα που επίσης δεν μπορούν να προβλεφθούν.
3. Κοσμολογία
Το σύμπαν όπως το ξέρουμε είναι πεπερασμένο (ένα κλειστό σύστημα) – πεπερασμένη ύλη, πεπερασμένη ενέργεια, πεπερασμένος χώρος και χρόνος 13,8 δισεκατομμυρίων ετών.
Επομένως δεν μπορεί να εξηγηθεί από μόνο του. Για να μπορέσει να καταλάβει κάποιος πλήρως το σύμπαν πρέπει να το θεωρήσει παρατηρώντας το από μια θέση έξω απ’ αυτό. Όσο βρίσκεσαι μέσα, πάντα κάτι θα σου διαφεύγει! Όμως μια τέτοια προνομιακή θέση έξω από το σύμπαν, απλώς δεν μπορεί υπάρχει στον κόσμο, εφ’ όσον όλη η κτίση, συμπεριλαμβάνεται μέσα στο σύμπαν! Άρα, όσο ζούμε μέσα στον χωροχρόνο μας, ποτέ δεν θα μπορέσουμε να αποδείξουμε τίποτα συνολικά για το σύμπαν.
4. Η ύπαρξη μιάς Ανώτερης συνείδησης
Το θεώρημα του Gödel δείχνει ότι η πίστη στον Θεό είναι υπέρτατα λογική. Στην πραγματικότητα είναι η μόνη θέση που μπορεί να πάρει κανείς και να μείνει παράλληλα στη σφαίρα της λογικής.
Ο αθεϊσμός βασίζεται στην υπόθεση ότι ο φυσικός κόσμος είναι ένα κλειστό σύστημα, που σημαίνει ότι τίποτα που δεν είναι μέρος του φυσικού κόσμου δεν τον επηρεάζει. Ωστόσο, το θεώρημα του Gödel λέει ότι όλα τα συστήματα βασίζονται σε κάτι έξω από το σύστημα. Έτσι, ο αθεϊσμός δεν μπορεί να είναι σωστός. Επειδή το σύμπαν είναι ένα σύστημα, πρέπει να έχει μια εξωτερική αιτία. Ο αθεϊσμός στην πραγματικότητα παραβιάζει τους νόμους των μαθηματικών.
Η ιδέα μιας αυτο-εξήγητης, εξω-συμπαντικής οντότητας είναι μια απαίτηση σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel. Όπως είπαμε, το σύμπαν είναι ένα πεπερασμένο (ένα κλειστό σύστημα). Επομένως το σύμπαν δεν μπορεί να εξηγηθεί από μόνο του. Η εξήγησή του βρίσκεται έξω από αυτό. Εάν σχεδιάσουμε έναν κύκλο γύρω από όλη την ύλη, την ενέργεια, τον χώρο και τον χρόνο και εφαρμόσουμε το θεώρημα του Gödel, τότε ξέρουμε ότι αυτό που βρίσκεται έξω από αυτόν τον κύκλο δεν μπορεί να είναι ύλη, δεν είναι ενέργεια, δεν είναι χώρος και δεν είναι χρόνος. Γιατί εάν ήταν αυτά θα έπρεπε πάλι να σχεδιάσουμε έναν νέο κύκλο γύρω τους. Επομένως ό,τι βρίσκεται εκτός είναι άϋλο και αδιαίρετο. Είναι μια αναίτιος αιτία, η αιτιώδης αρχή του υπαρκτού.
5. Φιλοσοφία
Το θεώρημα του Gödel μας οδηγεί στη διαπίστωση, ότι όλες ανεξαιρέτως οι φιλοσοφίες, είναι υλιστικές θεωρήσεις του κόσμου και ως εκ τούτου αδυνατούν να εξηγήσουν κάτι στην κοσμοθέαση τους. Θα καταλήγουν πάντοτε σε ένα αδιέξοδο, σε δογματισμούς που δεν θα επιδέχονται αποδείξεις. Δογματικές θεωρήσεις για ενα σύμπαν χωρίς αιτία θα καταλήγουν σε αδιέξοδα σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel.
Τέλος ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος στο πεδίο της Ψυχολογίας είναι ότι ο άνθρωπος ποτέ δεν μπορεί να είναι σίγουρος στην προσπαθεία του να κατανοήσει τον ευατό του βασιζόμενος σε αυτά που γνωρίζει για τον ευατό του επειδή ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι ένα κλειστό σύστημα.
Έτσι δεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον κόσμο μέσω της συνεπούς λογικής του που είναι η μοναδική λογική μας που έχουμε για να το κρίνουμε.